Stochastische Prozesse und Matrizen

Prozesse und Matrizen – Mehrschrittige Produktionsmodelle

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Sekundarstufe II

Austauschprozesse & Übergangsmatrix

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Matrizen beschreiben lineare Abbildungen. Der Vektor wird durch die Matrix zum Vektor transformiert.Eine Matrix ist eine Anordnung von …

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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ In dem Diagramm rechts kannst du erkennen, wie sich ein System mit drei verschiedenen Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten verändert. Hier könnte das Gefühl von Schülerinnen und Schülern gezeigt werden. Diese könnten für gute Noten lernen (N), Party machen (P) oder schlafen (S) wollen. Angenommen heute (Tag 0) wollen von 504 Jugendlichen 182 lernen, 213 Party machen und 109 schlafen, dann könnte man die veränderten Zustände an den folgenden Tagen mit einer Prozessmatrix berechnen. Einen Austauschprozess erkennt man mathematisch immer daran, dass dem Übergangsprozess eine quadratische Matrix zugrunde liegt, bei der die Koeffizienten alle positiv und die Spaltensummen gleich eins sind. Eine gegebene Anfangsverteilung wird durch Multiplikation mit der Prozessmatrix A beliebig häufig verändert. Wird der Austausch mehrfach durchgeführt, spricht man von Iterationsschritten. Um beispielsweise auf die Verteilung nach dem zweiten Iterationsschritt zu kommen, kann man entweder rechnen: A·(x_0 ) ⃗=x ⃗_1 → A·x ⃗_1=(x_2 ) ⃗ , oder man potenziert die Austauschmatrix mit der Anzahl der Iterationsschritte und multipliziert diese danach mit dem Anfangsvektor: x ⃗_2=A·x ⃗_1=A·A·(x_0 ) ⃗=A^2·(x_0 ) ⃗ Bei Austauschprozessen sind zwei Dinge besonders interessant: – stabile Verteilung: Eine solche Verteilung besitzt einen Vektor x ⃗ , sodass die Gleichung A·x ⃗=x ⃗ erfüllt wird. Dies bedeutet, dass sich die Zustände nach einigen Iterationen nicht mehr verändern und das System „kontrahiert“. – Grenzmatrix: Die Matrizen A^k nähern sich für k → ∞ einer Grenzmatrix G, wenn die Spalten von G alle die gleichen Zahlen aufweisen. Die Spalten der Grenzmatrix geben dann die Verhältnisse bei der Grenzverteilung wieder. Die Aufgabe knüpft an die Situation aus der Beschreibung an. a) In fünf Tagen beginnt die Klausurenphase. Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler sich nach 5 Zeitschritten jeweils in den Zuständen N, P und S befinden. b) Gibt es eine stabile Verteilung der Stimmungen? Gib sie an. c) Bestimme eine Grenzmatrix des Austauschprozesses. Fazit: Unabhängig von der Anfangsverteilung werden am Ende 60% der Schüler im Zu-stand N sein, 30% in Zustand P und 10% in Zustand S, weil bei „von…nach“ unabhängig vom Startzustand die gleichen Anteile verteilt werden. Facebook: https://www.facebook.com/strandmathe Instagram: http://instagram.com/strandmathe Twitter: https://twitter.com/strandmathe

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Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ Werden zwei Prozesse hintereinander ausgeführt, dann spricht man von einem zweistufigen Prozess. Solche Prozesse finden zum Beispiel statt, wenn man aus Rohstoffen zuerst Zwischenprodukte und dann aus diesen Zwischenprodukten Endprodukte herstellt. Diese Prozessfolge nennt man auch Materialverflechtung. Grundsätzlich verkettet man die Matrizen der einzelnen Prozessschritte, in dem man die Matrizen miteinander multipliziert. Dabei wird immer Zeile mal Spalte gerechnet und die erste Matrix muss stets so viele Spalten enthalten, wie die zweite Matrix Zeilen hat. Aus den Zutaten Zucker, Sahne, Erdbeeren, Vanille und Schokolade (Rohstoffe) werden zunächst die Eissorten Erdbeereis, Vanilleeis und Schokoladeneis (Zwischenprodukte) hergestellt. In einem zweiten Schritt stellt man aus diesen Eissorten die Eisbecher Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 3 (Endprodukte) her. Für diesen zweistufigen Produktionsprozess ergibt sich folgender Übergangsgraph bzw. folgendes Verflechtungsdiagramm, wobei die Einheiten an den Pfeilen für die Anzahl an Esslöffeln (10g / cm3) stehen: a) Bestimme die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A_RZ, die Zwischenprodukt-Endproduktmatrix B_ZE und die Rohstoff-Endproduktmatrix C_RE. b) Berechne den Bedarf an Rohstoffen für eine Bestellung von sieben Eisbechern Nr. 1, zwei Eisbechern Nr. 2 und neun Eisbechern Nr. 3. „Schaue immer genau auf die Indizes und die Formate der Matrizen. Überprüfe bei allen Rechnungen kurz, ob einzelne Rechenschritte auch wirklich mathematisch und wirtschaftlich Sinn machen.“ Facebook: https://www.facebook.com/strandmathe Instagram: http://instagram.com/strandmathe Twitter: https://twitter.com/strandmathe

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Geometrische Abbildungen – Verschiebung, Spiegelung, Streckung, Scherung – Gymnasium Wissen

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Affine Abbildungen in Matrixschreibweise – Gymnasium Wissen

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Matrix mal MatrixIn diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man Matrizen multiplizieren kann. Wann kann man zwei Matrizen multiplizieren? Die Anzahl…

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Matrizen beschreiben lineare Abbildungen. Der Vektor wird durch die Matrix zum Vektor transformiert.Eine Matrix ist eine Anordnung von …

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Matrizen beschreiben lineare Abbildungen. Der Vektor wird durch die Matrix zum Vektor transformiert.Eine Matrix ist eine Anordnung von …

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Elementarmatrizen anwenden Zeilen-, Spaltentausch oder -operationen (Zeilen/Spalten addieren) Darstellung des Gauss-Algorithmus mittels Elementarmatrizen

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Diese Übung ist als Vertiefung zum Thema “geometrische Abbildungen” gedacht. Die Schüler sollten die Verschiebung, die Drehung und die Scherung bereits kennen und in der Lage sein, den Flächeninhalt eines Quadrats und eines Parallelogramms zu berechnen.

Übungsmaterial, Arbeitsblatt

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Matrizenmultiplikation

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Geogebra-Anwendung: Definiere eine Matrix und es wird angezeigt, wie ein Dreieck hierdurch abgebildet wird.

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